تئوری آشوب و الگوریتم های آشوب

واژه آشوب به چه معناست؟

واژه chaos به طور سنتی به عنوان بی نظمی و آشوب و فقدان هرگونه ساختار یا نظم تعریف می شود. تعریف جدید آشوب این است که بی نظمی ممکن است صرفاً سطح بالایی از پیچیدگی باشد که شاید از فرآیندهای قطعی ناشی شود.

هیلز در سال 1990 آشوب یا بی نظمی را اینگونه تعریف می کند:

بی نظمی و آشوب نوعی نظم در بی نظمی است. بی نظمی از این رو که نتایج آن بی نظمی غیر قابل پیش بینی است و منظم بدان جهت که از نوعی قطعیت برخوردار است. قطعیت در برابر غیر قطعی بودن (تصادفی) مطرح می باشد. که به ازاء ورودی خاص، خروجی خاصی دارد.

تئوری آشوب:

تئوری آشوب برخلاف معنی واژه آن، در پی یافتن نظمی از بی نظمی است. این تئوری بیان می دارد که پیش بینی بلند مدت امری بیهوده می باشد و باید روی تصمیم کوتاه مدت تمرکز کرد.   

چهار اصل تئوری آشوب عبارتند از (شکل 1 ):

• جاذبه های غریب: با دانش محدود در مورد شرایط اولیه یک نظام و با درک روابط ما بین اجزای آن می توان رفتار آینده را تخمین زد. در واقع جاذبه های غریب یا بی نظم در ابتدا بی نظم به نظر می رسند ولی در دراز مدت و تکرار به پدیده هایی منظم تبدیل می شوند. خلاصه آنکه آشوبناک بودن روندها همه خبر از نوعی نظم پنهان و کشف نشده می دهند.
• اثر پروانه ای: یک تغییر کوچک در رفتار اولیه سیستم می تواند به تغییرات بسیار گسترده در آینده سیستم منجر شود. ادوارد لورنز نتایج محاسبات دستگاه معادلات دیفرانسی مربوط به جابه جایی حرارتی جو را منتشر و ملاحظه کرد که در محدوده معینی از عوامل معادلات، بدون دخالت عناصر تصادفی یا ورود اغتشاش خارجی، نوعی نوسانات نامنظم در پاسخ سیستم بروز داده می شود. او به این نتیجه رسید که یک تغییر جزئی در شرایط اولیه معادلات پیش بینی کننده وضع جوی، منجر به نوسانات در پاسخ سیستم و تغییرات شدید در نتایج حاصل از آنها می گردد. بدین مفهوم که مثلاً اگر پروانه ای در پکن بال بزند ممکن است بر اثر بال زدن، ابری حرکت کرده و در نیویورک طوفانی ایجاد شود. وی این خاصیت را اثر پروانه ای نامید. اثر پروانه ای در واقع بیانگر رد روابط خطی بین علت و معلول و تأیید غیرخطی بودن روابط در پدیده ها و سیستم ها است. یعنی یک تغییر جزئی در شرایط اولیه می تواند به نتایج وسیع و پیش بینی نشده ای در خروجی سیستم منجر گردد و این، سنگ بنای تئوری آشوب است.
• سازگاری پویا: تئوری همگون سازی مجدد، کمیتها هیچ وقت ثابت نبوده و با مقیاس درجه ای از آن کمیت، کم و زیاد می شوند. یعنی مشخصه های اصلی نظام در مقیاس های مختلف ثابت می ماند. در واقع سیستم های بی نظم نسبت به محیط شان مانند موجودات زنده عمل می کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط اطراف شان ایجاد می کنند. از ویژگی های این سیستم ها هم افزائی، خود کنترلی، عناصر خود یادگیرنده و انعطاف پذیری سیستم می باشد.
• خود مانایی: تئوری خود مانندی و عمومیت، رفتار کلی نظام های گوناگون، یکسان است.  بدین معنی که الگوهای ترسیمی بیانگر نوعی شباهت بین اجزاء و کل می باشد که در هندسه آن را بنام fractal می نامند. مانند برگ درخت، یک دانه برف.

شکل 1: اصول تئوری آشوب

در کل در سیستم های آشوبناک همان طور که گفته شد به شرایط اولیه حساس می باشد بدین معنی که در سیستم های دینامیکی مسیرهای مجاور با سرعت و به طور نمایی از هم جدا می­شوند. در واقع این خصوصیت، تفاوت اصلی سیستمهای دینامیکی آشوبناک با سیستمهای دینامیکی غیر­آشوبناک است. در سیستمهای دینامیکی غیر­آشوبناک، اختلاف کوچک اولیه در دو مسیر به عنوان خطای اندازه­گیری بوده و به طور خطی با زمان افزایش پیدا می­کند در حالی که در سیستمهای دینامیکی آشوبناک، اختلاف بین دو مسیر با فاصله بسیار اندک همان طوری که گفته شد، به طور نمایی افزایش می­یابد.

مدل های آشوب:

متداول ترین و ساده ترین مدل آشوب، نگاشت لجستیک نام دارد که به شکل زیر تعریف می شود:

که در آن منظور از r ضریب لجستیک می باشد که باعث اثر پروانه ای می شود. شکل 2 نشان دهنده نقشه لجستیک تک بعدی تغییرات X_n است که در آن X₀=0.2,r=3.95 در نظر گرفته شده است. همان طور که واضح است برای این مقادیر نمونه ها به صورت تصادفی در حال تغییر می باشد.

شکل 2 : نقشه لجستیک تک بعدی براساس تغییرات X_n

اگر ارتباط متغیرها را در تکرارهای متوالی در یک نقشه متوالی بدست آورده شود همان طور که در شکل 3 نشان داده شده است، در آن صورت تغیرات دیگر تصادفی نمی باشند و روند تغییرات داده ها دارای الگوی قطعی می باشد.

شکل 3 : تقشه لجستیک دو بعدی براساس تغییرات متوالی داده ها

در صورتی که تغییرات متوالی داده ها را برای سه متغیر متوالی در نظر گفته شود نقشه لجستیک سه بعدی به صورت شکل 4 خواهد شد.

شکل 4 : نقشه لجستیک سه بعدی برای تغییرات متوالی داده ها

همان طور که نشان داده شد در نگاشت دو بعدی و سه بعدی، برخلاف نگاشت تک بعدی، از یک از یک الگوی قطعی برخوردار می باشند. در تئوری آشوب بیان می کند که برای تمام پدیده ها، نقاطی وجود دارد که تغییری اندک در آنها باعث تغییراتی گسترده در فرآیند آن پدیده می شود. برای درک بهتر این موضوع نگاشت لجستیک برای r های مختلف در شکل 5 آورده شده است. همان طور که در شکل 6 نشان داده شده است فقط در بازه 3.75<r<4 نگاشت لجستیک رفتاری نامنظم و آشوب گونه از خود نشان می دهد.

شکل 5 : نگاشت لجستیک برای r های مختلف

شکل 6: رفتار آشوب گونه نگاشت لجستیک در بازه 3.75<r<4

به منظور نمایش حساسیت در رفتارهای آشوب گونه به نقطه شروع اولیه، برای نگاشت لجستیک با 50 نمونه در شکل 7 آورده شده است. که دسته اول روال عادی نگاشت لجستیک انجام می شود ولی برای دسته دوم در نقطه 25 یک تغییر 1% اعمال شده است که باعث تغییر در نتایج بقیه نمونه ها گردیده است.

شکل 7 : نمایش حساسیت به نقطه شروع برای نگاشت لجستیک

 منابع: فایل پاورپوینت سال 1390.